Основание логарифма под знаком модуля

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием

основание логарифма под знаком модуля

В задаче 4 при преобразовании основания логарифма был поставлен знак модуля, однако поскольку показатель степеней нечетный, то такое. логарифмов произведения и частного нужно будет поставить модули. знак модуля позволяет учесть возможность отрицательного основания в. Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание .. А как решать функцию логарифмическую, если логарифм под знаком модуля?.

Слайд 3 Решите неравенство: Решение Для начала выпишем ОДЗ логарифма Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем: Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля: Теперь решаем основное неравенство: Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному.

Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами. Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием; Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом.

Логарифмические уравнения и неравенства

Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из.

Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая: Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство; Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов; Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше. Слайд 6 Решите неравенство: Решение Найдем область определения ОДЗ первого логарифма: Затем — нули знаменателя: Отмечаем нули и знаки на координатной прямой: У второго логарифма ОДЗ будет таким.

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов: примеры, решения

Не верите — можете проверить. Изначально у нас было два логарифма. Потом мы перенесли один из них вправо, но на область определения это не повлияло. Затем мы выносим степень из основания, но логарифмов все равно остается два, и в каждом из них присутствует переменная x. Наконец, мы зачеркиваем знаки log и получаем классическое дробно-рациональное уравнение. Именно на последнем шаге происходит расширение области определения! Как только мы перешли к дробно-рациональному уравнению, избавившись от знаков log, требования к переменной xрезко поменялись!

Следовательно, область определения можно считать не в самом начале решения, а только на упомянутом шаге — перед непосредственным приравниваем аргументов. Здесь-то и кроется возможность для оптимизации. С одной стороны, от нас требуется, чтобы оба аргумента были больше нуля.

С другой — далее мы приравниваем эти аргументы. Следовательно, если хотя бы один и них будет положителен, то и второй тоже окажется положительным!

Вот и получается, что требовать выполнение сразу двух неравенств — это излишество. Достаточно рассмотреть лишь одну из этих дробей.

Например, давайте разберемся с правой дробью: Возьмем число, заведомо большее всех наших корней. И подставляем его дробь. Затем знаки чередуются, потому что корней четной кратности нигде.

основание логарифма под знаком модуля

Нас интересуют интервалы, где функция положительна. Теперь вспоминаем про ответы: Строго говоря, это еще не ответы, а лишь кандидаты на ответ. Какой из них принадлежит указанному множеству? Вот теперь мы получили грамотное, обоснованное решение с учетом области определения. Переходим ко второму уравнению: Другими словами, перепишем 0,5 в виде обычной дроби.

основание логарифма под знаком модуля

Сразу замечаем, что логарифм, содержащий это основание, легко считается: Это очень важны момент! Когда у нас и в основании, и в аргументе стоят степени, мы можем вынести показатели этих степеней по формуле: Возвращаемся к нашему исходному логарифмическому уравнению и переписываем его: Давайте представим единицу как логарифм по основанию 5: Вот мы и получили каноническую форму!

Зачеркиваем знаки logи приравниваем аргументы: Оно легко решается с помощью формул Виета: Но это не окончательные ответы, а лишь кандидаты, потому что логарифмическое уравнение требует еще и проверки области определения. Это и есть окончательный ответ. Еще раз ключевые мысли сегодняшнего урока: Как только переменная x появляется в нескольких логарифмах, уравнение перестает быть элементарным, и для него придется считать область определения.

Иначе можно запросто записать в ответ лишние корни. Работу с самой областью определения можно существенно упростить, если выписывать неравенство не сразу, а ровно в тот момент, когда мы избавляемся от знаков log. Ведь когда аргументы приравниваются друг к другу, достаточно потребовать, чтобы больше нуля был лишь один из.

Вся элементарная математика - Учебное пособие - Алгебра - Логарифмы

Разумеется, мы сами выбираем, из какого аргумента составлять неравенство, поэтому логично выбирать самый простой. Хотя результат получается один и тот. Данное замечание существенно упрощает поиск ОДЗ, но будьте внимательны: Конечно, кто-то сейчас спросит: Например, в самом шаге, когда мы перемножаем два аргумента, содержащие переменную, заложена опасность возникновения лишних корней. В результате упускается случай, когда каждая из этих дробей отрицательна. Поэтому если вы только начинаете разбираться со сложными логарифмическими уравнениями, ни в коем случае не перемножайте логарифмы, содержащие переменную x — уж слишком часто это приведет к возникновению лишних корней.

Лучше сделайте один лишний шаг, перенесите одно слагаемое в другую сторону составьте каноническую форму. Ну, а как поступать в том случае, если без перемножения таких логарифмов не обойтись, мы обсудим в следующем видеоуроке.: Еще раз о степенях в уравнении Сегодня мы разберем довольно скользкую тему, касающуюся логарифмических уравнений, а точнее — вынесение степеней из аргументов и оснований логарифмов. Я бы даже сказал, речь пойдет о вынесении четных степеней, потому что именно с четными степенями возникает большинство затруднений и при решении реальных логарифмических уравнений.

Начнем с канонической формы. Именно к ней стараются свести любое логарифмическое уравнение, каким бы сложным и страшным оно не казалось на первый взгляд.

Вот давайте и попробуем. Начнем с первой задачи: И вот здесь у многих учеников возникает вопрос: Но когда мы выносим квадрат из основания логарифма, мы обязаны оставить в основании именно модуль. Дело в том, что с точки зрения математики вынесение степени равносильно извлечению корня.

Но корень из квадрата — это не что иное как модуль. Дальнейшее извлечение корня даст нам положительное число — уже без всяких минусов. В общем, чтобы не допускать обидных ошибок, запомните раз и навсегда: Корень четной степени из любой функции, которая возведена в эту же степень, равен не самой функции, а ее модулю: Возвращаемся к нашему логарифмическому уравнению. Говоря про модуль, я утверждал, что мы можем безболезненно снять. Строго говоря, мы обязаны были рассмотреть два варианта: Но есть одна загвоздка: Это требование должно выполняться независимо от всяких модулей и других преобразований, которые мы выполняем в процессе решения.

Следовательно, второй вариант рассматривать бессмысленно — он никогда не возникнет. Даже если при решении этой ветки неравенства мы получим какие-то числа, они все равно не войдут в окончательный ответ. Тогда наше уравнение перепишется в следующем виде: Теперь мы буквально в одном шаге от канонической формы логарифмического уравнения.